Je suis

Un cube bizarre ?

Non, ce n'est un espace vectorielle de dimenssions 3 sur le corps fini \( \mathbb Z/3 \mathbb Z\)

Alors, avez-vous reconnu l'intégrale de Gauss ?

Notons \(I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}~dx \), l'intégrale de Gauss.
Nous avons alors \( I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}~dx \dot \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2}~dy = \int\limits_{\mathbb{R}^2} \int e^{-(x^2+y^2)} dx dy \).
Effectuons un changement de variable pour passer en coordonnées polaires : \( (x,y) = \varphi (r,\theta) = (r \cos (\theta), r \sin(\theta)) \).
\( \varphi : [0,+\infty[ x [0, 2\pi[ \longrightarrow \mathbb R^2 \) est bijective est de classe \( C^1 \).
On peut donc appliquer notre changement de variable et on obtient : \[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} e^{-(r^2\cos^2(\theta) + r^2\sin^2(\theta))} ~ \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \cos \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix} ~ dr ~d\theta \] simplifions : \[ I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infty} r e^{-(r^2)} dr d\theta = 2 \pi \int_{0}^{+\infty} r e^{-(r^2)} dr = 2\pi \left[ \frac{-e^{-r^2}}{2} \right]_0^{+\infty} = \pi. \] Or, comme l'on sait que \( \exp \) est toujours positive, on peut conclure que \( I = |\sqrt\pi| = + \sqrt\pi \).
Bravo !

×